1 引言
在日常学习和生活中，儿童经常会选择使用熟悉的参照物进行估计的策略。例如“从家到学校有多远”这一问题，儿童可能会通过“比少年宫到超市远一点”来给出近似答案。这种数值−空间估计能力构成了数学认知的核心，直接关联到儿童分数理解、比例判断与空间推理等高级数学技能的发展(Booth & Siegler, 2006, 2008; Boyer et al., 2008; Schneider et al., 2018; Thompson & Siegler, 2010)。数字线估计任务(number-position task, NP)被广泛用于评估儿童的数字线估计能力，要求儿童在一条有界线段上标出数字的位置，不依赖具体单位而能较纯粹反映儿童的策略运用(Booth & Siegler, 2006; Schneider et al., 2018)。策略运用是指个体在某项任务中选择合适的策略并有效执行该策略的过程，主要包括策略的选择与执行(孙玉 等, 2017; Lemaire & Lecacheur, 2011)。
重叠波理论(overlapping waves theory)提出儿童掌握多种估计策略。随着年龄和认知能力的发展，儿童根据估计经验和情境特征，会越来越频繁地选择并高效地执行最合适的策略。在此过程中，儿童的策略呈现出“共存与竞争”的模式(Siegler, 1996; van Der Ven et al., 2012)。该理论已在阅读、分数、算术等多种学习任务中得到广泛验证(Fazio et al., 2016; van Der Ven et al., 2012)。然而，重叠波理论主要描述在单一情境下策略运用随年龄发展的纵向发展趋势，对于同一年龄阶段的儿童，在不同情境下如何灵活调整策略的横向表现及其背后的认知过程，探讨仍较有限。尤其是在不同条件频繁交替变化的复杂情境中，儿童的策略运用及其认知机制尚未形成系统认识。为此，本研究将通过两个数字线估计任务深入考察儿童的策略运用及其可能的认知加工过程，以期拓展重叠波理论在复杂估计情境下的解释力。
以往研究多采用集中呈现的方式，要求儿童先估计一个条件的所有试次，再估计第二个条件，考察儿童在不同范围与不同长度情境的估计策略(曹碧华 等, 2021; 曹碧华 等, 2023; 莫雷 等, 2010; Booth & Siegler, 2006; Dehaene et al., 2008; Siegler & Opfer, 2003)。根据参照点来源于数字线内部还是外部，估计策略可分为内部参照策略和外部参照策略。其中，内部参照策略包括基于两端点进行叠加数数的心理长度(莫雷 等, 2010)，以及基于中点或四分位点的比例判断(Barth & Paladino, 2011; Slusser & Barth, 2017)。外部参照策略指儿童将相同情境另一条件中相应数字的经验位置作为参照点，进行比例推断，从而估计当前数字的位置。
二年级在数字线估计的发展历程中属于关键过渡期(曹碧华 等, 2021)。一年级儿童在估计时普遍以两端点为唯一参照，依赖心理长度，即将“1”与一段固定长度建立对应关系并反复叠加(莫雷 等, 2010)。二年级儿童对心理长度的使用频率有所下降(曹碧华 等, 2021; 曹碧华 等, 2023; 张帆 等, 2015)。与此同时，二年级儿童逐渐掌握基于中点和两端点的比例判断，绝对误差百分比(percent absolute error, PAE)呈“M”型，展现出内部参照策略的进一步发展(Ashcraft & Moore, 2012; Barth & Paladino, 2011)。更重要的是，他们开始整合不同条件之间的关系进行估计，表现出外部参照策略的初步使用。曹碧华等(2023)发现集中呈现的估计顺序影响二年级儿童估计0～50范围的策略和PAE，在估计后呈现的0～50范围中端和末端数字时，二年级儿童可能将先呈现的0～100范围数字作为外部参照点进行不精确的比例判断，导致PAE上升；类似地，在不同长度情境中，他们也表现出对不同条件间比例关系的敏感。综上，二年级儿童从基于单一条件的内部参照向整合不同条件的信息进行外部参照的转变，不仅体现了数字线估计的关键发展路径，也为重叠波理论中“策略共存与竞争”过程提供了重要观察窗口。
然而，集中呈现与儿童在真实情境中的估计相距较远。现实生活和学习中，儿童需要在不同参照标准或尺度单位之间灵活切换。相比之下，交替呈现打破单一条件重复的惯性，不仅进一步提高了生态效度，更可能触发儿童对不同策略的比较、选择与整合过程，从而更全面揭示“共存与竞争”的策略模式。研究发现，交替呈现下的策略运用可能会出现截然不同的两种结果。一方面，交替变化的情境特征有助于激发个体对条件间差异的关注，选择更高效的策略从而提高估计成绩(Abel et al., 2021; Kornell & Bjork, 2008; Metcalfe & Xu, 2016)。另一方面，不同条件的频繁切换消耗个体更多认知资源，可能导致策略执行的效率变差，估计准确性下降(司继伟 等, 2012; 孙玉 等, 2017; 杨伟星 等, 2018; Cragg et al., 2017; Imbo et al., 2007)。然而，交替呈现对策略运用的影响在数字线估计领域尚未得到系统验证，且尚不清楚这些影响在不同实验情境(范围/长度)下是否有所差异。因此，本研究首次在数字线估计任务中引入交替呈现的方式，以非系统、伪随机的顺序对不同条件的试次进行交替呈现(潘伟伟, 2023; Kornell & Bjork, 2008)。例如在不同范围情境，完成0～50范围的单个试次后完成0～100范围的单个试次，接着再完成0～50范围的单个试次，以此类推。
本研究旨在探讨二年级儿童在交替呈现数字线估计任务中的策略运用及其背后的认知机制，拟回答两个问题：第一，二年级儿童在交替呈现不同范围/长度情境的策略选择有何特点？第二，策略运用表现是否受到呈现方式(交替/集中)与实验情境(范围/长度)的交互影响？为此，本研究要求二年级儿童完成实验1(不同范围：0～50、0～100)和实验2(不同长度：10 cm、18 cm)的数字线估计任务。并且，结合集中呈现的数据(曹碧华 等, 2023)，探究相同条件0～100(10 cm)在四种情境的PAE是否存在交互作用。根据重叠波理论与以往实证研究的结果，预期二年级儿童不仅在交替呈现中使用内部参照和外部参照策略，并且其策略运用表现与呈现方式和实验情境有关，整体呈现出多种策略共存、相互竞争的模式。这不仅从横向维度出发，拓展重叠波理论在复杂估计情境下的适用性，也为小学数学估计教学提供了更具操作性的启发。
2 实验1：交替呈现不同范围下儿童的估计策略
2.1 研究方法
2.1.1 被试
使用软件G*Power3.1进行功效分析(power analysis)，所需的被试量至少为24名(f=0.25, α=0.05, power=0.90)。在南昌市两所小学的二年级随机选取学生共47名。其中一名被试并未正确理解指导语，对所有数字估计的位置均位于中点，予以删除。最后，保留46名有效被试，其中男生24名，女生22名(M=8.09岁, SD=0.40)。
2.1.2 实验材料
实验材料为一个31页的小册子。首页登记被试的基本信息，其余30页为正式实验材料。每页均包含两条长度为10 cm的线段，线段两端分别标记为0和100(或50)(图1)。确保同一页上的两条线段范围保持一致，以排除被试因未注意到范围变化而产生的误差。0～50和0～100两种范围的数字交替呈现。每条线段的中间上方2厘米处标有一个数字。一共选取60个数字要求被试估计。其中，0～50范围包括低端数字1～10、中端数字21～30和末端数字40～49。0～100范围包括低端数字1～10、中端数字46～55和末端数字90～99。
2.1.3 实验程序
采用纸笔测验法集体施测。主试讲解实验做法：“每一页有两条数字线，左边标有‘0’ ，右边标有‘50’(或‘100’)。如果线段的左边代表‘0’ ，右边代表‘50’(或‘100’)，那么，你认为线段上方圆圈里的数字应该在数字线的哪个位置。请你想好后用笔在线段上画一条竖线来表示数字的位置。”不允许被试使用尺子测量，主试不会对被试的估计结果做出任何反馈。
2.2 结果
2.2.1 估计的准确性
为观察儿童的策略运用表现，首先，用直尺测量被试估计的实际长度(精确到毫米)，再将长度转化为实际值(实际长度除以线段长度乘以范围)。然后，使用“|估计值−实际值|/数字范围”计算每个数字的PAE(Siegler & Opfer, 2003)。最后，对PAE值进行范围(0～50、0～100)×位置(低端、中端、末端)的重复测量方差分析。结果发现范围和位置的主效应均显著，范围：F(1, 45)=57.25，p<0.001，$ \eta _{\mathrm{p}}^{2} $ =0.56，0～50的PAE(13.38%)显著大于0～100(6.08%)。位置：F(2, 44)=30.78，p<0.001，$ \eta _{\mathrm{p}}^{2} $ =0.58，末端数字PAE最大(13.19%)，中端数字次之(10.55%)，低端数字最小(5.45%)。范围和位置的交互作用显著，F(2, 44)=39.73，p<0.001，$ \eta _{\mathrm{p}}^{2} $ =0.64。主效应和交互作用的效应量较高。简单效应分析显示儿童对0～50中端(15.59%)和末端数字的PAE(19.79%)显著大于低端数字(4.77%)，ps<0.001。另外，儿童对0～50中端和末端数字的PAE显著高于0～100的中端(5.51%)和末端数字(6.60%)，ps<0.001，而0～100低端数字的PAE(6.13%)显著高于0～50低端数字(4.77%)，p=0.041。0～50和0～100范围估计的PAE分别为直线上升型和“M”型(图2)。
2.2.2 不同范围估计的实际长度比较
首先，为了考察儿童数字估计是否使用心理长度，测量0～50和0～100范围低端、中端和末端数字估计的实际长度。即从0到估计位置的实际长度，并进行配对样本t检验(莫雷 等, 2010)。结果显示，儿童对低端数字2～9的实际长度不存在显著差异(表1)。然而，儿童对两种范围的中端和末端对应的数字估计时，每个数字对估计的实际长度差异均十分显著，ps<0.001，不存在心理长度。这说明儿童根据起点进行叠加数数，对8个低端数字使用了心理长度。
表1 两种范围低端数字估计的实际长度比较(cm) |
| 估计数字 | 0～50 | 0～100 | t(df=45) | p |
| 1−1 | 0.35±0.27 | 0.23±0.15 | 3.345 | 0.002 |
| 2−2 | 0.65±0.41 | 0.55±0.31 | 1.804 | 0.078 |
| 3−3 | 0.79±0.39 | 0.79±0.43 | −0.001 | 0.999 |
| 4−4 | 1.27±1.30 | 1.05±0.58 | 1.116 | 0.270 |
| 5−5 | 1.30±1.36 | 1.15±0.54 | 0.678 | 0.501 |
| 6−6 | 1.19±0.57 | 1.24±0.67 | −0.926 | 0.359 |
| 7−7 | 1.76±1.16 | 1.37±0.91 | 1.925 | 0.061 |
| 8−8 | 1.64±0.63 | 1.58±0.82 | 0.642 | 0.524 |
| 9−9 | 1.50±0.68 | 1.52±0.89 | −0.175 | 0.862 |
| 10−10 | 1.94±0.78 | 1.75±0.69 | 2.197 | 0.033 |
为探究儿童低估0～50中端和末端数字的原因以及是否采取基于比例判断的外部参照策略，将0～50范围内的中端数字长度乘以1.5，然后与0～100范围内相应数字的实际长度进行配对样本t检验。若两者长度无显著差异，则说明儿童使用了比例判断且低估了0～50中端数字。结果显示，除22−47、23−48和30−55外，儿童对21−46、24−49、25−50、26−51、27−52、28−53和29−54七对数字的长度没有显著差异(ps>0.05)。接着，将0～100范围内的末端数字标记位置到终点的实际长度乘以2.5，再与0～50范围内相应数字的实际长度进行配对样本t检验。若两者长度无显著差异，则说明儿童使用了倒数的比例判断且低估了0～50末端数字(曹碧华 等, 2023)。结果表明除40−90、47−97和49−99外，二年级儿童对41−91、42−92、43−93、44−94、45−95、46−96和48−98这七对数字的长度没有显著差异(ps>0.05)。
3 实验2：交替呈现不同长度下儿童的估计策略
3.1 研究方法
3.1.1 被试
G*Power3.1计算结果同实验1。在南昌市两所小学的二年级随机选取学生共45名，男生26人，女生19人(M=8.30岁, SD=0.43)。
3.1.2 实验材料
与实验1的实验材料类似，不同之处是实验2中两种数字线长度(10 cm、18 cm)、相同范围(0～100)的数字线交替呈现。实验2选取30个数字，与实验1的0～100范围低端、中端和末端数字相同。
3.1.3 实验程序
3.2 结果
3.2.1 估计的准确性
首先，求出10 cm和18 cm各端数字的平均PAE。然后，对PAE进行数字线长度(10 cm、18 cm)×位置(低端、中端、末端)的重复测量方差分析。结果发现长度和位置的主效应均显著，长度：F(1, 44)=15.86，p<0.001，$ \eta _{\mathrm{p}}^{2} $ =0.27，10 cm的PAE(8.63%)显著大于18 cm(7.10%)。位置：F(2, 43)=6.75，p<0.001，$ \eta _{\mathrm{p}}^{2} $ =0.24，末端数字PAE最大(9.39%)，低端数字次之(7.51%)，中端数字最小(6.70%)。长度与位置的交互作用显著，F(2, 43)=22.86，p<0.001，$ \eta _{\mathrm{p}}^{2} $ =0.51。主效应和交互作用的效应量较高。简单效应分析表明，低端数字估计时10 cm的PAE(8.94%)显著高于18 cm(6.08%)，p<0.001。中端数字估计时10 cm(6.38%)与18 cm的PAE(7.01%)没有显著差异，p=0.187；末端数字估计时10 cm的PAE(10.57%)显著高于18 cm的PAE(8.21%)，p<0.001。另外，10 cm中端数字的PAE显著小于低端数字和末端数字，ps<0.01；18 cm末端数字的PAE显著大于低端数字，p=0.003。
其次，从各端数字共选取10个数字的PAE画图，结果显示10 cm和18 cm的PAE均呈现出“M”型，这说明二年级儿童使用了基于中点和两端点的内部参照策略(图6)。
3.2.2 不同长度估计的实际长度比较
分别测量10 cm和18 cm各端数字的实际长度后进行配对样本t检验。结果显示除数字1和4外，其余28个数字对的实际长度均存在显著差异，ps<0.01。这说明二年级儿童在不同长度情境未使用心理长度策略。
为考察儿童是否根据不同数字线的长度关系使用外部参照策略，分别将10 cm低端数字的实际长度，以及末端数字从标记位置到终点的长度乘以1.5，然后与18 cm相应数字的实际长度进行配对样本t检验。若两者长度无显著差异，则说明存在比例判断。结果显示，儿童对低端2、4−6和8−10这七对数字的长度没有显著差异(ps>0.05)。对末端90和92−99这九对数字的长度没有显著差异，存在倒数的比例判断(ps>0.05)。将10 cm的中端数字乘以1.8，然后与18cm的实际长度进行配对样本t检验，结果表明47、48、50、51、53和54六对数字存在比例判断(ps>0.05)。这表明儿童估计大部分数字时采取了外部参照策略(图7)。
3.3 呈现方式和实验情境对0～100(10 cm)估计的影响
为进一步考察呈现方式和实验情境对儿童策略运用表现的影响，本研究将当前采用交替呈现方式获得的数据，与曹碧华等(2023)采用集中呈现方式获得的数据进行联合分析。两项研究在任务形式与测量指标上具有可比性，均包含0～100(10 cm)数字线估计任务。在联合分析中，实验情境根据操纵类型分为不同范围与不同长度两类，分别对应两项研究的实验1与实验2。为保证不同呈现方式与不同实验情境下数据的可比性，仅选取两项研究中0～100(10 cm)条件下的PAE作为分析指标。
对0～100(10 cm)的PAE进行2(呈现方式：交替呈现、集中呈现)×2(实验情境：不同范围、不同长度)两因素方差分析。结果显示呈现方式与实验情境的交互效应显著，F(1, 147)=15.03，p<0.001，$ \eta _{\mathrm{p}}^{2} $ =0.09，效应量中等。简单效应分析表明交替呈现时，不同范围情境的PAE(6.08%)显著低于不同长度(8.63%)，p=0.001，策略运用表现更佳。集中呈现时相反，不同范围的PAE(8.22%)显著高于不同长度(6.07%)，p=0.028，策略运用表现更差。另外，交替呈现不同范围情境的PAE显著低于集中呈现，p=0.007。这表明数字范围不同时，交替呈现可提高0～100(10 cm)的策略运用表现。然而，交替呈现不同长度情境的PAE显著高于集中呈现，p=0.007，说明数字线长度不同时，集中呈现有利于儿童对0～100(10 cm)进行准确估计(图8)。
4 讨论
本研究首次使用交替呈现的方式探讨二年级儿童数字线估计的策略运用及认知机制，主要有两个发现：第一，该阶段的儿童不仅使用基于数字线端点的内部参照策略，还普遍选择基于不同条件间比例关系的外部参照策略。第二，0～100(10 cm)的PAE存在呈现方式与实验情境的交互效应，即儿童的策略运用表现受到二者共同作用的影响。这些发现为重叠波理论在复杂的数字线估计情境中的适用性提供了新的证据支持。
交替呈现时，二年级儿童对两个实验0～100范围数字的PAE均呈“M”型，表明他们使用基于中点和两端点的内部参照策略(刘国芳, 辛自强, 2012; Ashcraft & Moore, 2012)。这与集中呈现一致，表明二年级儿童已熟练掌握0～100范围内的数值−空间比例关系，不易因呈现方式改变其对内部参照点的依赖(曹碧华 等, 2023)。此外，儿童在以起点为参照点时，对两种范围的8个低端数字使用了心理长度进行叠加数数(曹碧华 等, 2023)。不过，与集中呈现相比，其准确性有所提升。交替呈现下，数字“1”被赋予的心理长度在较准确的0.24～0.28 cm，比集中呈现的0.36～0.40 cm更接近0～100范围的理论值0.1 cm(曹碧华 等, 2023)。这可能是因为交替呈现使儿童更易关注到不同范围间的差异，从而缩小了心理长度与正确长度的差距，提高了策略执行的效率。
值得注意的是，儿童还展现出对不同条件间比例关系的敏感性。两个实验的多个配对分析结果表明儿童选择了外部参照策略。在不同范围情境，儿童对0～50中/末端数字估计时并未使用中点和终点进行内部参照，而是以0～100对应数字为外部参照点，这与集中呈现一致(曹碧华 等, 2023)。例如估计0～50范围的25时，儿童将先前0～100范围的中点50作为参照点，并在50的估计位置向左调整从而导致低估25。在不同长度情境，儿童完全放弃使用心理长度，而是根据不同长度间的关系对大部分数字进行基于直觉的比例判断，这与集中呈现不同。其中可能的原因是交替呈现激活儿童对不同条件间差异的关注，从而促进他们对不同策略的比较和整合，并选择对他们而言更高效的策略。
另一个重要发现是，0～100(10 cm)的PAE受到呈现方式(交替、集中)与实验情境(范围、长度)的交互影响，主要表现在两方面：在不同范围情境下，交替呈现能提高儿童对0～100的策略运用表现；而在不同长度情境下，集中呈现更有利。这可能与个体的认知资源有关。首先，基于PAE模式和实际长度比较，本研究推测在不同范围情境0～100(10 cm)中，儿童可能持续使用内部参照策略进行估计，较少受到另一条件影响，外部参照策略的使用频率较低。但儿童估计不同长度情境0～100(10 cm)的数字时，普遍存在混用内部参照与外部参照策略的现象，这种策略间的切换可能消耗更多认知资源。交替呈现迫使儿童在不同条件间频繁切换，其自身认知资源需求量显著高于集中呈现(司继伟 等, 2012; 杨伟星 等, 2018; Peng et al., 2016)。因此，在复杂的交替呈现情境中，稳定执行内部策略可能比混用多种策略的效率更高，策略运用表现也更好。
其次，根据Brunmair和Richter(2019)的材料相似性理论，当材料之间知觉相似性较高时，交替呈现通过促进材料间比较可以提升学习效果；而当材料之间知觉相似性较低时，交替呈现带来的材料间频繁切换会消耗更多认知资源，从而降低学习效果。实验1的范围变化可能因其阿拉伯数字的抽象性削弱了知觉上的差异，被儿童感知为高相似性材料(Barth & Paladino, 2011; Sella et al., 2015)。因此，交替呈现更有利于提升策略执行的效率，例如心理长度准确性提高，从而增强了策略运用表现。相反，实验2的物理长度变化因其显著的视觉−空间特征差异，可能被归类为低相似性材料。然而，集中呈现避免了不同条件变化所需的额外认知资源，从而更利于策略运用表现的提升。
综上，二年级儿童掌握内部参照和外部参照等多种估计策略，并且有可能同时使用两种以上的策略。然而，策略运用表现受到呈现方式和实验情境的交互影响。由于认知资源有限，若儿童无法根据不同呈现方式和实验情境的组合特征有选择地调整策略，则可能降低策略执行的效率。这种策略模式与重叠波理论中“多种策略并存，相互竞争”的典型特征相吻合(Siegler, 1996; van Der Ven et al., 2012)。本研究不仅从横向微观的角度证明重叠波理论在复杂数字线估计任务中的解释力，还从认知资源出发探讨策略运用表现与情境特征的关系。这为重叠波理论背后的认知机制提供了初步补充，进一步丰富了其理论框架。
此外，本研究不同实验情境特征(范围、长度)对PAE主效应的效应量均为高水平。同时，交互作用的效应量属中等水平。这说明呈现方式与实验情境对儿童估计准确性的影响并非偶然，应在教学或干预中纳入考虑。具体而言，教师在进行估计类教学时，应根据教学内容的材料特征灵活选择呈现方式。针对相似性高的材料，教师应采用交替呈现的方式以帮助学生区分变化。针对相似性低的材料，教师应优先使用集中呈现方式，帮助学生专注于内部参照策略的稳定运用，在学生熟练掌握后再尝试引入交替呈现。
5 结论
本研究发现二年级儿童同时使用内部参照和外部参照策略，而策略运用表现受到呈现方式和实验情境的交互影响。整体表现为“共存与竞争”的策略模式，这支持并扩展了重叠波理论在复杂数字线估计情境的适用性。另外，本研究从认知资源出发，探讨重叠波理论背后的认知机制，进一步丰富了其理论框架。